Los números enteros

El conjunto de los números enteros se representa con una Z e incluye los números positivos, los negativos y el cero. El valor absoluto de un número entero es la distancia en unidades desde ese número hasta el cero. Se escribe entre dos barras y resulta el mismo número sin el signo.

Operaciones con números enteros

 Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)

 Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z) debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).

 Suma y resta en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):

Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números con signo distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:

 a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debe sumar y conservar el signo.

 Ej  :         -3   +   -8  =   - 11      ( sumo y conservo el signo) 12   +   25  =   37       ( sumo y conservo el signo)

 b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo que significa que se debe considerar el número sin su signo).

Ej  :           -7   +   12   =   5    (tener 12 es lo mismo que tener  +12, por lo tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12  -  7  =   5 ¿con cuál signo queda?. El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de  +12 es 12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido a esto el resultado es un numero positivo).

                    5   +   -51   =   - 46   ( es negativo porque el 51 tiene mayor valor absoluto)

                   -14  +   34   =    20

Multiplicación y División en Z

La regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?. Multiplico números y luego multiplico los signos de acuerdo a la siguiente tabla:

 +    ·    +    =    +
 -     ·    -     =    +
 +    ·    -     =    -
 -     ·   +     =    -

 Ej:                -5    ·    -10   =    50    (  5   ·   10   =    50 ;    -   ·    -   =   + ) 12   ·    - 4    =   -48    (  12 ·    4   =     48 :    +  ·    -   =   - ) Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas de signos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para la suma y no deben ser confundidos con los de esta otras operaciones).

¿Te acuerdas del orden de las operaciones?

Parentesis y corchetes. Luego potencias y raices. Multiplicación y división. Y por último sumas y restas.

¿Y de los criterios de divisibilidad?

Los criterios de divisibilidad nos permiten descubrir si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división.

Criterio del 2: Observa la última cifra. Un número es divisible por dos cuando termina en 0 o en cifra par. Ejemplos: 325: no, porque no acaba en cero ni cifra par  184: si, porque acaba en par.

Criterio del 3: Suma sus cifras. Si la suma te da un número múltiplo de 3, ese número puede dividirse entre tres. Ejemplos: 496: 4+9+6=19; 1+9=10. 1+0=1. No podemos dividir porque la suma de sus cifras no es 3, 6 o 9. 126: 1+2+6=9. Si es divisible por tres.

Criterio del 5: Observa la última cifra. ¿Es 0 o 5? Sólo en esos casos el número podrá dividirse entre 5. Ejemplo: 895: Si, porque acaba en 5. 349: No, porque no acaba en 0 ni en 5.

Criterio del 10: ¿En que cifra acaba el número? Si termina en 0 es divisible por 10. Ejemplo: 30, 240, 850 Son divisibles por 10 245, 345, 243 no son divisibles por 10

Criterio del 11:Suma las cifras de posición par. Suma las cifras de posición impar.Restalas si te da 0 o 11 si es divisible y si no, no lo es Ejemplo. 121   1+1= 2 ,2-2=0 Si es divisible por 11 2354   2+5=7   3+4=7   7-7=0  También es divisible por 11.

POTENCIAS

Una potencia es una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores. Las potencias de los números enteros.

RAICES

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El mínimo común múltiplo es una operación, porque tomamos dos números y obtenemos otro.

Para calcularlo se hacen los múltiplos de un número, los del otro, y se coge el menor de los múltiplos repetidos.
 Ejemplo: m.c.m.(10,15)= 30
          Múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70,…
          Múltiplos de 15: 15, 30, 45, 60, 75, 90,…

PROBLEMA

Un tren pasa por una estación cada 10 minutos y otro cada 15 minutos. Si han coincidido a las 6 de la tarde, ¿cuándo será la próxima vez que vuelvan a coincidir?

Solución: m.c.m.(10, 15) = 30. Volverán a coincidir a las 6:30 horas.

Lo entiendes ¿Verdad? Pero para números grandes calcular todos los múltiplos hasta encontrar el mínimo común puede resultar complicado. Para facilitarlo utilizamos la descomposición en factores primos:

Según el número de divisores los números se clasifican en primos y compuestos.

Son primos los que solo tienen dos divisores que son el 1 y el mismo número.

Son compuestos los que tienen más de dos divisores.

Ejemplos:
D17= 1, 17,  Es primo porque solo tiene dos divisores.
D15= 1,3,5 15 Es compuesto porque tiene 4 divisores.

Sigamos con el mismo ejemplo, buscamos el m.c.m (10, 15) = 5 * 3 * 2 = 30 10 = 2 * 5 15 = 3 * 5 Para calcular el mínimo común múltiplo, multiplicamos los comunes (en este caso el 5) con mayor exponente (en el ejemplo son iguales, ambos están elevados a 1) por los números no comunes (en este caso el dos y el tres)

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Para calcular el máximo común divisor entre dos números calculamos los divisores y elegimos el mayor.

Ejemplo: M.C.D (10, 15) = 5
D10: 1, 2, 5, 10

D15: 1, 3, 5, 15

Para números mayores descomponemos en factores primos y utilizamos los comunes de menor exponente.